И вот так на самом деле со многими областями математики (ну может только классическая общая топология нас тут подведет). Если мы вдаримся в общую алгебру, то довольно скоро поймем, что как только мы изучили свойства более-менее простых структур (групп там или полей, чего угодно), то удобно смотреть отображения более сложных объектов в более простые, и, зная свойства этих отображений, изучать эти сложные объекты. Например, таким образом устроена теория Галуа – в ней свойства полей изучаются при помощи языка теории групп, что позволяет, например, устанавливать разрешимость многочленов при помощи лишь придумывания групп симметрий его корней. В частности, если придумать многочлен, у которого группа симметрий будет являться группой перестановок из хотя бы 5 элементов, то его корни нельзя записать в виде сложения, умножения, деления и извлечения корня любой степени.
Алгебра алгеброй, но вот абстрактная хрень весьма сложна для понимая для обычных людей, так что давайте рассмотрим то, что понятно всем – тупо плоскость. Самую обычную Евклидову плоскость. Ну ладно, не совсем обычную. Кажется, в школе проходят, что можно рассматривать векторы, которые только выходят из начала координат? Ну так вот, будем рассматривать только их – верхний вектор на картинке не рассматриваем, нижний рассматриваем.
Так вот, все мы с детского сада знаем, что есть преобразования плоскости, которые сохраняют расстояния между векторами и это только повороты и симметрии относительно оси. Так вот, неожиданно эти преобразования плоскости обладают групповыми (не в этом смысле) свойствами: композиция двух движений является движением, есть движение, которое ничего не делает – нейтральный элемент, скобки можно переставлять ну это понятно, ну и для каждого движения есть, то, которое возвращает всё как было (например, если повернуть всё на 90 градусов, то понятно, нужно повернуть на столько же, но в другую сторону). Поразительным образом оказывается, что на самом деле все эти движения – это на самом деле матрицы, у которых определитель 1(повороты) или -1 (симметрии). Если к нашим поворотам и симметриям добавить ещё и сжатия и растяжения, то получатся снова матрицы, только с произвольным ненулевым определителем.
Но даже на этом чудеса преобразований плоскости не заканчиваются. На самом деле, все вектора плоскости можно представить как комплексные числа. И вот, поразительным образом оказывается, что поворот плоскости – это умножение на комплексное число вида cos φ + i sin φ, где φ – это угол поворота, а отражение относительно оси – это сопряжение (число a + bi сопряжено числу a - bi, просто минус у мнимой части). Если же снова захотеть рассматривать ещё и сжатия-растяжения, то будут умножения на числа не только такого вида, а произвольного вида.
Если немного остановиться и осознать, что происходит, то вот, что я скажу – мы представили преобразования плоскости как комплексные числа и как матрицы. Собственно, это значит, что в принципе это один и тот же объект.
Вообще геометрия – это бесконечный источник алгебраических структур. Ну и так уж вышло, что геометрию на самом деле изучать куда проще, видимо, потому что для нас более понятно, что такое векторы. Центральным объектом многомерной геометрии – линейной алгебры – являются линейные операторы (они тоже являются преобразованиями), которые довольно несложно изучать, а значит, проводя аналогии между алгеброй и линейной алгеброй, можно изучать сложные абстрактные структуры. Но только это тоже нельзя сделать просто так, невозможно же просто сказать, что какие-то два объекта на самом деле одинаковые? Для этого нужно правильным способом устроить отображения между ними. То есть, чтобы изучать поля, нужно применить теорию Галуа и преобразовать поля в группы, затем при помощи теории представлений преобразовать группу в матрицы, которые в свою очередь являются преобразованием некоторого многомерного пространства.
Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite
