Группы
Начнем с простого: одна операция, сложение (ну или умножение, как вам нравится, это не принципиально). Берешь объекты любой природы и для каждой их пары говоришь, чему будет равна их сумма. Только надо следить, чтобы не получилось какого-нибудь противоречия. То, что у тебя в итоге вышло, например, умножение твоих одноклассников, называется группоидом. Если при этом еще получилось так, что между операциями можно переставлять скобки, то это вся хрень будет называться полугруппой.Вдруг тебе могло показаться, что как бы ты не вводил, у тебя всегда получается полугруппа. Значит, ты тупой, потому что попробуй расставить скобки в возведении в степень натуральных чисел и сразу увидишь.
Если не увидел: возведи сначала 2 в 3 степень, а потом это все в четвертую, получишь: (2^3)^4 = 4096, а если наоборот, то получишь: 2^(3^4) = 2 ^ 81 = 2 417 851 639 229 258 349 412 352.
Теперь, если среди твоих одноклассников оказался такой, что с кем его ни умножай, получится тот, с кем ты его умножал (ну или складывал, ваще без разницы), то есть как 1 при умножении натуральных чисел или 0 при их сложении, то поздравляю, ты получил моноид. Если же теперь так оказалось, что в твоем моноиде для каждого одноклассника есть такой, что если их перемножить, получится нейтральный, то у вас получится группа – самая важная алгебраическая структура. Напомню, какие у нее есть свойства: там можно умножать (или складывать, как больше нравится), можно переставлять скобки, есть нейтральный элемент (обычно обозначается е), для которого: a * e = a; b * e = b; c * e = c, а еще для всех элементов есть обратный, такой, что при перемножении они дают нейтральный.
Вообще говоря, у тебя вполне могло получиться так, что при перемножении одноклассников коля*петя = петя*коля. Однако это далеко не всегда так.
Возможность переставлять элементы группы местами называется коммутативностью, а коммутативные группы – абелевыми (в честь Абеля, кто не понял). В них операцию чаще называют сложением, а не умножением и записывают, соответственно, "+", а не "*". Они играют очень важную роль в теории колец и полей, к которым мы и переходим.
Кольца
Кольца возникают, как только мы захотим и складывать, и умножать элементы нашего множества. Но все же нужно, чтобы выполнялась пара условий: по одной из операций, обычно называемой сложением, кольцо должно быть коммутативной группой, а по второй операции, обычно называемой умножением, – полугруппой (то есть можно ставить скобочки: а * (б * с) = (а * б) * с). Да и помимо всего этого должен иметь место распределительный закон: а * (б + с) = а * б + а * с.
Короче, переходя обратно на язык твоих одноклассников, будет так: ты хочешь не только складывать их, но и умножать. Чтобы получилось кольцо, надо, чтобы относительно сложения они были абелевой группой, а относительно умножения они были полугруппой, причем можно раскрыть скобки между плюсом и умножить.
Давайте теперь называть нейтральный по сложению элемент "нулем", а по умножению – "единицей". Несложно показать, что при умножении на нуль всегда получается нуль, а значит, рассматривать элементы по умножению разумно без нуля. Эта штука будет называться мультипликативной полугруппой кольца. Если в ней есть единица, то наше кольцо будет зваться кольцом с единицей (внезапно, правда?). Если в нем умножение коммутативно, то оно называется коммутативным кольцом.
Тела и поля
Тела – это кольца, в которых мультипликативная полугруппа образует группу по умножению. То есть, к примеру, если рассмотреть все рациональные числа, то они образуют абелеву группу по сложению, они же без нуля образуют группу и по умножению (те, кому неочевидно, докажите). Это все конечно офигеть, как круто, но вот на деле тела практически не употребляются ввиду их неинтересности.
Поля уже куда интереснее, чем тела. Поле – это тело, в котором мультипликативная группа образует абелеву группу. То есть грубо говоря, поле – это множество с двумя операциями, по каждый из которых оно образует абелеву группу и еще имеет место дистрибутивный закон (скобки можно раскрывать). Поля – на самом деле очень крутые штуки, относительно которых очень здорово рассуждать. К примеру, все конечные поля имею одинаковую структуру, связанную с простыми числами, а все бесконечные поля имеют в себе внутри рациональные числа. Более того, из конечных полей можно придумывать бесконечные поля, можно расширять поля и, скажем, при помощи расширения поля рациональных чисел можно доказать две знаменитейшие проблемы античности – трисекция угла и удвоение куба при помощи циркуля и линейки.
Поля также играют важную роль в линейной алгебре. Вектора, являющиеся центральным объектом линала, рассматриваются над полями, то есть их координаты - всегда элементы некоторого поля. Двумерное векторное пространство, которое мы все изучаем в школе, рассматривается над полем вещественных чисел, однако ничего не мешает нам посмотреть на вектора над полем рациональных или комплексных чисел или над полем остатков по модулю 5. А если посмотреть на отображения этих векторов, то получатся матрицы, которые образуют угадайте что? Правильно, кольцо матриц над векторным пространством. А если посмотреть только на невырожденные матрицы, то получится тело невырожденных матриц. И так можно упарываться очень долго, строя одну структуру над другой, но это уже совсем другая история
В общем,на этом подошло к концу наше знакомство с основными структурами из высшей алгебры. Это только самое-самое начало того, что в ней есть, ведь все описанные объекты имеют просто кучу разнообразных свойств. И сверху над всем этим красуется теория Галуа - лучшее, что есть в алгебре и во всей математике. возможно, однажды мы до нее дойдем.
Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite
