Существует много способов определить комплексное число. Так уж вышло, что в различных местах (школы, университет, курсы и т.д.) мне каждый раз начинали объяснение с одного и того же – упорядоченных пар. Видимо, это самый простой и понятный способ задать комплексное число. Значит, будем давать определение именно таким способом. Кстати, так уж повелось, что действительные числа обозначают буквами x, y, а комплексные – z.
Итак, комплексным числом будем называть упорядоченную пару (a, b) обычных, действительных чисел. Ну, вроде всё понятно: пара чисел – это значит, что их просто два, упорядоченная пара – это значит, что если поменять местами a и b, то получится другое число, то есть (a, b) ≠ (b, a).
/* начало флешбека в школьную программу
- - - - - -
Помните, проходили в геометрии и физике такие штуки – векторы. Векторы – это самое важное математическое понятие, без него почти невозможно представить линейную алгебру и многомерный анализ. Так вот, были у вектора такие штуки – координаты. Вспомнили? И вектор однозначно задается своими координатами – сколько нужно отложить по оси Х и сколько – по оси Y. Причем, порядок важен. Так что в каком-то смысле координаты вектора на плоскости – это только что введенный нами объект – комплексное число (упорядоченная пара).
- - - - - -
конец флешбека */
Теперь введем операции сложения и умножения таких пар. Будем называть суммой пар (a, b) и (c, d) пару (a + c, b + d), а произведением – пару (ac - bd, bc + ad). Легко проверить, что сложение и умножение обладает всеми привычными нам свойствами - от перемены мест слагаемых сумма не меняется, от перемены мест множителей – тоже. Упражнение для желающих: перемножьте пары: (1, 0) * (0, 1); (cos 45, sin 45) * (cos 45, - sin 45); (cos 60; sin 60)^3. Ну здорово, скажете вы, что нам теперь, обосраться от счастья? Что с этим вообще можно делать? Пары какие-то, где корни из отрицательных чисел-то?
Теперь начинается самое интересное. Записывать такие штуки довольно неудобно, неправда ли? Хорошо, давайте будем записывать эти пары по-новому. Как? Да очень просто. Вот еще флешбек.
- - - - - -
Пусть, у нас есть два числа: 1 + √2 и 5 + 8√2. Мы не сможем по-нормальному, без радикалов (знаков корня) записать эти числа, ведь они иррациональные, поэтому при сложении мы запишем их сумму так: 1 + 5 + √2 + 8√2 = 6 + 9√2 (рациональное с рациональным, иррациональное с иррациональным).
- - - - - -
Давайте, подобно символу для корня из двух, введем символ i и будем записывать только что введенные упорядоченные пары в такой же форме. Никто же нам не запрещает. Будем теперь вместо пары (a, b) писать a + b * i, где а – действительная часть, а b – мнимая. Вспомните первый флешбек, там мы откладывали вектор. Так вот, ось Х – это действительная числовая ось, а ось Y – мнимая. Все правила умножения и сложения оставим такими, какими они были для пар. Как легко видеть из введенных операций, такое умножение реализуется тогда и только тогда, когда i = √-1, и называется это мнимой единицей.
Но как же такое может быть? Зачем нужны вообще такие числа? Можно ли научиться их перемножать быстрее? Если обычные числа - это точки на прямой, то что тогда эти числа? Как с ними связана экспонента, логарифм, синус, косинус и что такое формула Эйлера? На все эти вопросы я постараюсь ответить в следующей части статьи.
Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite
