Сегодня мы познакомимся с тригонометрической формой комплексного числа. Помните, в первой части мы вспоминали, что такое векторы на плоскости? Так вот, заметим, что у комплексных чисел так же, как и у векторов есть две координаты. Если помните, то все вещественные числа отвечают упорядоченной паре вида (a, 0). Числа вида (0, b) будем называть мнимыми, а для комплексного числа (a, b) будем называть (a, 0) вещественной частью комплексного числа, а (0, b) будем называть мнимой частью. Теперь будем рассуждать о комплексных числах, как о векторах, принимая его вещественную часть за абсциссу вектора, а мнимую часть – за ординату (эй, не забыли, что это такое? ну ладно, напомню: абсцисса – это по х, то есть горизонтально, а ордината – это по у, то есть вертикально).
Посмотрим на вектор на плоскости. Для него можно посчитать длину по теореме Пифагора. Так что для комплексного числа тоже можно посчитать "длину". Назовем эту длину модулем комплексного числа и будем рисовать прямые палки, когда ищем его. То есть для комплексного числа z = (a, b) модулем будет |z| = √(a^2 + b^2).
Упражнение 1: Убедитесь, что для действительных чисел (то есть вида (a, 0)) модуль будет являться тем же модулем, что и в обычной модели действительных чисел.
Упражнение 2: Сравните модули чисел (a, b), (b, a), (a, -b).
Заметим, что модуль комплексного числа всегда положительное действительное число (вот и живи теперь с этим).
Для комплексного числа z рассмотрим комплесное число вида w = z / |z|. Заметим, что оно имеет длину 1, а направлено на плоскости так же, как и вектор z. Ну что, чувствуете уже запах гари? Это синус и косинус подъехали. Посмотрим на угол φ между вектором w (вектором z) и осью х.
Упражнение 3: убедитесь, что координаты вектора w – синус и косинус угла φ.
Заметим, что угол тот же, что и между вектором z и осью х. Этот угол называется аргументом комплексного числа.
Упражнение 4: убедитесь, что координаты вектора z – (|z| * cos φ; |z| * sin φ).
Упражнение 5: найдите модуль и аргумент чисел: 1; i; 1 + i: 4: -1.
Если вернемся в алгебраическую запись комплексного числа, то получится, что z = a + i * b = |z| * cos φ + i * |z| * sin φ = |z| * (cos φ + i * sin φ).
Полученная запись называется тригонометрической формой комплексного числа. Давайте теперь поймем нахрена она вообще нужна, такая запись. А всё очень просто: в такой записи гораздо проще умножать комплексные числа. При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Упражнение 6: используя формулы синуса и косинуса суммы и разности убедиться в этом. (напомню, что (a, b) * (c, d) = (ac - bd, bc + ad))
Упражнение 7: убедитесь, что это не приводит к противоречиям при умножении обычных чисел.
Упражнение 8: убедитесь, что i * i = -1 в тригонометрической записи.
Ну и наконец возведение в степень. По вышеуказанному правилу при возведении числа z в степень n его модуль возводится в степень n, а аргумент умножается на n.
Упражнение 9: найдите четвертую степень √2/2 + i * √2 / 2.
Давайте вспомним, какие ещё объекты обладают таким же свойством. Ну конечно степени и логарифмы. Математики, вообще говоря, очень ленивые люди и им всегда хочется упростить запись. Поэтому вместо записи cos φ + i sin φ они стали писать значок e^(iφ): z = a + ib = |z|(cos φ + i sin φ) = |z|*e^(iφ). Убедитесь сами, что при такой записи сохраняются все операции, которые мы ввели в предыдущих частях.
Вообще говоря пока что не очень понятно, почему такая запись означает именно то число е и именно то возведение в степень. На самом деле это очень просто, если вы знаете, как раскладывается синус, косинус и экспонента в ряд Тейлора. Если знаете, попробуйте сами доказать справедливость этой формулы. Если нет, то подождите, пока выйдут статьи по рядам. Пока же мы просто примем эту формулу на веру. Да и в принципе в математике можно ничего не доказывать, а все давать на веру, ведь кто-то когда-то это доказал.
Из этой записи следует великолепная формула эйлера: е^(i * π) = cos π + i * sin π = -1 + 0 = -1, или если кратко, то е^(i * π) + 1 = 0.
Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite
