Синопсис 1 части: мы ввели упорядоченные пары, ввели на них операции, потом придумывали, как их записывать в удобном виде и внезапно получили, что можно извлечь квадратный корень из минус 1.

Примечание: эта статья будет по большей степени рассуждением о числах, так что не ожидайте тут увидеть строгости в математических рассуждениях, это будет в следующий части.

Обратимся к древним грекам. А именно – к пифагорейцам и их культу числа. Если вкратце, то они практически боготворили целые числа и все, что с ними связано. То есть под такое определение подходили и рациональные числа, то есть дроби вида p/q, где p – целое, q – натуральное. И вот однажды так получилось, что их спустили с небес на землю одним утверждением. А именно случилось следующее. Гиппас из Метапонта доказал, что диагональ квадрата со сторонами 1 и 1 не может выразиться через рациональную дробь. Сейчас это утверждение может доказать любой, кто заметит следующее: если число делится на 2, то его квадрат точно делится на 4.

Упражнение: используя тот факт, самостоятельно доказать иррациональность √2, то есть показать, что не существует таких p и q, что √2 = p / q.

Вернемся к пифагорейцам. Открытие Гиппаса настолько ошеломило греков, что как говорят, открывший иррациональный числа вызвал такую ненависть, что его не только выгнали из общины и отлучили от пифагорейского образа жизни, но и соорудили надгробие, как будто действительно ушел из жизни тот, кто некогда были их товарищем (прямая цитата из: Ямвлих "О Пифагоровой жизни" ~ 3 век до н.э.).

Проблема в том, что пифагорейцев вполне устраивала та жизнь и та математика, которая у них была, то есть рациональные числа полностью удовлетворяли все их потребности: при сложении, умножении, вычитании и делении двух рациональных чисел снова получались рациональные числа. С чего бы вдруг существовать каким-то еще числам? Операция извлечения корня выглядит неестественной, да и мат.аппарат был недостаточно развит, чтобы их считать. Кстати, стоит заметить, что отрицательных чисел у них тоже не было как таковых, но об этом в другой раз.

Позднее была выработана теория действительных чисел, тех, что мы знаем и тех, что мы используем, когда пишем бесконечные дроби или числа π и e, корни и так далее. Мы знаем, что корень из двух существует, он вполне реален и его можно пощупать. Однако для того, чтобы понять это, нужно всего лишь представить, что за рациональными числами есть что-то еще, что-то большее. Так вот, с комплексными числами абсолютно так же. Нам нужно лишь представить, что вещественные числа – это не все, что есть в этом мире, а есть что-то большее. Что-то, где из всего извлечется корень из всего. Просто оно не будет целиком укладываться в модель действительных чисел, ровно так же, как корень из двух не укладывался в рациональные числа у древних греков.

В прошлой части мы ввели упорядоченные пары, а затем показали, что пара (0, 1) соответствует корню из минус единицы. Логично спросить, почему именно эти упорядоченные пары, числа вида a + i * b являются именно тем самым объектом, в котором можно из всех вещественных чисел извлечь квадратный корень. Ведь когда вводили вещественные числа, появился только один объект с разными моделями. Почему сейчас нельзя ввести, к примеру вместо корня из минус единицы корень из минус четырех. Почему не получится какая-то другая херня? Боюсь, что пока вам придется принять это на веру, но со временем мы с вами это докажем, просто нужно немного больше математического аппарата.


Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite