Вот бывает сидишь такой, складываешь числа и получаешь результат. А что будет, если мы хотим сложить бесконечное число слагаемых? Ведь с одной стороны ты хер сложишь бесконечно чисел, с другой стороны, пределы же мы как-то умеем считать. Так вот, вполне логично сказать, что бесконечная сумма – это просто предел сумм при стремлении числа слагаемых в бесконечность. Это, безусловно, верно, но вот только от части. Потому что есть некоторые приемы, которые позволяют считать бесконечные суммы для рядов, для которых такого предела частичных сумм нет.

Итак, ряд - это сумма бесконечного числа слагаемых, причем если существует конечный (то есть равный конечному числу) предел конечных сумм (они еще называются частичными суммами). Из школы вам наверняка известна сумма геометрической прогрессии. Если в геометрической прогрессии знаменатель меньше единицы, но больше нуля, то очень легко найти предел такой прогрессии. Давайте, например, найдем сумму ряда 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... (кто помнит парадокс Ахиллеса и черепахи, махните лапкой).

Не хочу вас разочаровывать, но этим практически исчерпывается множество рядов, которые можно посчитать простым способом. Да и вообще считать сумму ряда - это очень-очень хардово и в 99% это сделать невозможно.

Зачастую сумму ряда искать и не нужно, а нужно лишь узнать, существует ли у него конечная сумма (в таких случаях говорят, что ряд сходится) или ее не существует (в таких случаях ряд расходится). Для этого используются дохера сложные признаки сравнения, некоторые используют интегралы, которые на самом деле считать сильно проще, чем ряды.

А ещё ряды мутят свои мутки по поводу того, как их можно суммировать, а как нельзя. Например, не во всех рядах можно переставлять члены местами, не везде можно расставлять скобочки так, как нам хочется. Вот возьмем, например, ряд Гранди (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1): можно скобочки расставить вот так: (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... Тогда сумма, очевидно, будет равной 0. А можно так: 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... Тогда сумма будет равна 1. Ну не может же быть у одних и тех же чисел сумма быть одновременно быть и 0, и 1. Гавно какое-то получилось, переделывай, у нас же была сумма у такой штуки 1/2. На самом деле так, как мы сделали ранее, делать не совсем можно (вернее можно, но до этого надо кое-что доказать), и вообще говоря этот ряд является расходящимся в строгом смысле определения сходимости ряда: у конечных сумм нет конечного предела, они тоже скачут: 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...

Ну короче, ряды – это очень классная, но очень сложная вещь, в которой возникают очень красивые вещи, такие как представление числа пи рядом несколькими способами или ряды Тейлора, которые являются ключевыми в анализе. А еще сумма ряда обратных квадратов 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... равна пи квадрат делить на шесть, что нихрена не тривиально и вывел это не кто-нибудь, а Леонард Эйлер, а он тот еще хитрюга.

Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite