Давай рассмотрим рациональные числа с операцией сложения. (напомню, кстати, что рациональные числа - это дроби с целым числителем и натуральным знаменателем). Ослу понятно, что это группа (если ты не осел и не понял, то на картинке пониже есть аксиомы группы, проверь их). Покажем, что целые числа там являются подгруппой: если сложить два целых числа, получится целое число, то есть операция замкнута. Очевидно, что если а – целое число, то -а – тоже целое, значит у нас есть обратные. Нолик – нейтральный элемент в изначальной группе – тоже целое число, значит нейтральный элемент есть. Ну и скобочки можно переставлять, потому что изначально можно было переставлять скобочки.
Примечание: важно отметить, что у любой группы всегда есть как минимум две подгруппы: подгруппа из единички (нейтрального элемента) и вся группа.
Еще примечание: если изначальная группа была абелева (то есть для всех элементов а и в ав = ва), то любая ее подгруппа абелева.
Пусть у нас теперь есть какая-то группа G с подгруппой H. Начнем бешено умножать какой-нибудь элемент g нашей группы на все элементы подгруппы, например с левой стороны. Получим какое-то множество элементов нашей группы. То, что получилось называет смежным классом элемента g по подгруппе H. Обозначается так: gH. Аналогично вводится определение правого смежного класса: Hg (лайк, если сначала подумал, что это ртуть). Очевидно, что если группа была абелева, то для любого ее элемента правый смежный класс совпадает с левым смежным классом (по одной и той же подгруппе, разумеется).
Пусть теперь в нашей группе n элементов. Тогда можно показать, что если у нее есть подгруппа с количеством элементов k, то n обязательно делится на k (и если поделить n на k, то получится количество смежных классов). Эта теорема называется теоремой Лагранжа.
Возведение элементов в степень – это очень важная операция. Это умножение элемента самого на себя ЦЕЛОЕ количество раз. Записывают просто ак. Например, если взять группу тех же рациональных чисел с операцией умножения и возводить их в степень, то получится обычное возведение в степень, каким мы его знаем со школы. Если же, например, взять группу по сложению, то, понятное дело, возведение в степень – это сложение. Например, если в группе целых чисел по сложению нужно найти 3-ю степень числа 5, то нужно его сложить само с собой 3 раза, то есть умножить на 3, получим 15.
Порядок элемента - это наименьшая степень, в которую нужно возвести элемент, чтобы получить нейтральный. Например, в группе остатков при делении на 5 с операцией сложения порядок каждого элемента равен 5, потому что если умножить на 5, получится 0 но при этом на какое меньшее ни умножай, не получится числа, которое делится на 5.
В следующей серии – мешок примеров различных групп, наконец-то можно поговорить на нормальном языке.
Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite