Итак, для простоты восприятия я буду прикреплять картиночки. Про то, что дискриминант может быть отрицательным и это уравнение всё равно решаемо - вы уже знаете. Пусть нам дано приятное кубическое уравнение с комплексными коэффициентами. Если сильно заморачиваться, то нужно заменять в уравнении неизвестное y новым неизвестным x, связанным с y равенством y=x-a/3 и мы получим уравнение относительно x не содержащего квадрата в уравнении. Останется только куб, воот. И после этого как истинные гении мы получим формулу Кардано (1 картиночка)



Если вглядеться в неполное кубическое уравнение, то иногда мы можем увидеть там действительные коэффициенты. Что же делать? Ответ на этот вопрос таит хитрый знак выражения q/4+p³/7 (оно сидит под знаком корня в той страшной формуле) и это выражение будет противоположным по знаку дискриминанта уравнения. Поэтому нам нужно рассмотреть три случая:
1) D<0, то решением будет действительный и два сопряженных комплексных корня;
2) D=0, все корни действительные и два из них равны;
3) D>0, три действительных корня.
С уравнением четвертой степени все примерно также, но чуть понуднее. Решение достигается методом Феррари, но и это для нас слишком сложно, ведь можно пойти очень простым путём.
Смотрите. Возьмём пример с уравнением в 4 степени. (очень сложный) Иии... придумываем ему корень :З
Ну, а серьезно, нам нужно найти корень подбором среди делителей свободного члена (в нашем случае у 1) Подставим 1 в уравнение и получим 0. Значит это будет корнем уравнения. Одним из корней. По читерскому методу разделим многочлен на (x-1) (корень возьмем с противоположным знаком (так надо)) Смотреть картиночку 2.



Теперь решаем уравнение третьей степени. Проверим свою удачливость подойдет ли тот же корень снова: 1-4+4-1=0 бинго! Подошёл. Получаем корень второй кратности. Снова делим на (x-1). Попробуйте сделать это сами (или просто не верьте мне и пересчитайте). У меня получилось так: (x-1)²(x²-3x+1) Ну, а теперь осталось решить квадратное уравнение. (картиночка 3)



С этим разобрались. Теперь про n-ую степень. После тяжелых мучений и безуспешных попыток на протяжении трех столетий никто так и не смог найти формулы, выражающие при помощи радикалов корни любого уравнения пятой степени через его коэффициенты. Но, сообразительный Абель в двадцатых годах XIX века доказал, что такие формулы для уравнений n-ой степени никогда не найти. Решение с числовыми коэффициентами можно было найти, но не в буковках. Позже в тридцатых годах того же века Галуа занялся этим вопросом. И выяснилось, что для всякого n (начиная с 5), можно указать неразрешимые в радикалах уравнения n-ой степени даже с целочисленными коэффициентами.

Ну, всё. Надеюсь было понятно и теперь вы стали чуточку умнее :З