Функции, зависящие от параметра.
Самая простая вещь, на мой взгляд, которую можно придумать – это функция, зависящая от параметра. Если по простому, то у нас есть некоторая фикивная переменная, которая бегает, например, по отрезку, обычно её обозначают t, и две другие переменные, которые от нее зависят как обычные функции, их обычно обозначают x(t) и y(t). Таким макаром очень удобно задавать кривые на плоскости и изучать их.Например, вот параметризация окружности радиуса r с центром в точке (0, 0) при угле в качестве параметра (на картинке параметр обозначен θ):
x = r cos t
y = r sin t
Если t бегает на отрезке [0, 2π], то точка M имеет координаты (r cos t, r sin t). Ну и в силу теоремы Пифагора, получаем, что r2cos2t + r2sin2t = x2 + y2 = 1, известное нам уравнение окружности.
Попробуем теперь что-нибудь потяжелее – параметризуем архимедову спираль. Для тех, кто не в курсе, у нее расстояние между витками спирали всё время одинаковое. Для этого посмотрим не на то, как y меняется в зависимости от x, а то, как радиус-вектор меняется в зависимости от угла: Чем больше угол, тем больше радиус, при этом если угол прошёл расстояние 2π, то радиус должен пройти фиксированное расстояние а.
Давайте вспомним немного физики: за равное время 2π радиус проходит одинаковое расстояние а. Это означает, что он движется равномерно прямолинейно. Значит, радиус пропорционален углу. Раз уж мы вспоминаем аналогии из физики, то давайте обозначим коэффициент пропорциональности – скорость – за букву v. Тогда
r = v * t.
Теперь вспомним, как зависят х и у от угла и радиуса-вектора:
x = r cos t = v*t cos t
y = r sin t = v*t sin t
Ну что, возникает желание привести это уравнение к виду y(x)? Если и возникает, то можно попробовать, но вот только ни черта не получится, потому что для этого нужно было бы разрешить уравнение вида x = t cos t, то есть выразить отсюда t через х, а это невозможно в элементарных функциях (то есть степени, косинусы, синусы, экспоненты, логарифмы и так далее).
В итоге получилась вот такая штука:
И что?
Когда мы задаем функцию при помощи параметра, мы на самом деле получаем о функции ни чуть не меньше, чем если бы она была задана при помощи уравнения. В математическом анализе доказываются формулы для поиска производной функции, заданной параметрически. Фактически, если мы можем посчитать производную, то можем также посчитать и вторую производную, и третью, и так далее, а значит, мы знаем про функцию всё – промежутки возрастания, убывания, выпуклость, пересечения с другими кривыми, с осями координат и так далее.Разумеется, все это мы получаем в зависимости от параметра и зачастую перенести эти данные в привычный вид довольно сложно. Например, чтобы получить конкретный график функции, нужно понять, как ведут себя как y, так и x при одинаковых значениях параметра t. Таким образом, про функцию-то мы, конечно, всё знаем, но выглядит это всё неудобно.
Параметрическое представление поверхностей.
Поверхности в пространстве тоже можно задавать при помощи параметрического представления, только увеличится количество параметров, ведь поверхность если совсем близко посмотреть, похожа скорее на прямоугольник, а не на отрезок. Так что параметров теперь будет два – u и v, а параметрических уравнений три – x(u, v), y(u, v), z(u, v). Детально их разберем как-нибудь в другой раз.Итак, параметрическое задание функции или кривой – это представление координатных функций x и y как функций от параметра, то есть отдельно известно, как изменяется x и как изменяется у.
Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite
