1) Когда мы научились брать производные, возникает желание брать первообразные, то есть по функции f пытаться узнать, производной какой функции F она является. Сам процесс называется интегрированием, а функция F – неопределенным интегралом.
2) Теперь рассмотрим совершенно иную задачу. Есть у нас функция и мы хотим отыскать площадь под ее графиком. Для этого делается до боли знакомая любому школьнику старших классов или студенту младших курсов процедура – бьем отрезок, на котором ищем площадь на прямоугольники, затем устремляем их длины к нулю, суммируем и объявляем это определенным интегралом.
И вот, магическим образом (на самом деле в силу весьма простой теоремы Лагранжа), оказывается, что найти интеграл функции на отрезке – это то же самое, что отыскать ее первообразную, затем вычислить ее в одном конце отрезка, в другом, и вычесть друг из друга. Это утверждение называется основной теоремой анализа или формулой Ньютона – Лейбница.
Итак, первый пункт является подходом Ньютона или Ньютоновским интегралом. Второй – Римановским или интегралом Римана. Ну а теорема Ньютона – Лейбница просто говорит о том, что эти два интеграла совпадают.
Это все мы и так прекрасно знаем, так в чем же суть статьи? А в том, что это на самом деле отражает малое количество степеней свободы на прямой. Ни в плоскости, ни в пространстве, ни в каком другом пространстве большей размерности эти два интеграла не совпадают.
Интеграл Римана в неодномерном случае не претерпевает абсолютно никаких изменений, просто множества, по которым мы интегрируем становятся не одномерными, а двумерными, трехмерными и так далее. Процедура та же – делим область интегрирования на маленькие n-мерные кубики (двумерный куб – это квадрат), затем берем сумму (n + 1)-мерных объемов и суммируем (трёхмерный случай на картинке).
В итоге получается какое-то число, которое с заданной точностью можно, например, посчитать на компьютере.
Если мы попытаемся что-нибудь придумать с интегралом Ньютона, то у нас ничего не выйдет по одной простой причине – возникает проблема в самом начале. Нет, не в попытке отыскать первообразную, а еще раньше. Мы не можем сказать, что такое производная функции от нескольких переменных. Ну сами посудите, что такое "скорость" функции, когда она задана какой-нибудь поверхностью (например, как на картинке)?
Да, разумеется, если мы желаем сохранить обозначения Ньютона, то мы должны приписать вектор скорости в каждой точке графика. Тогда у нас получится так называемая вектор-функция, состоящая из частных производных, то есть производных по фиксированной координате. Такая вектор-функция называется градиентом и обозначается ∇f. Если мы теперь захотим проинтегрировать градиент в смысле Ньютона, то что мы должны сделать? Ну, например, если захотим каждую координату вектора отдельно, то что получится? Получится снова векор-функция. Теперь возникает вопрос: мы прибавляли константу в одномерном случае, значит, тут тоже надо. И что, как мы это будем делать? Добавим постоянный вектор? А какой? Как должны соотноситься его координаты с координатными функциями? А ведь изначально у нас не было никакой вектор-функции.
Короче, попытки устроить интеграл Ньютона в хотя бы двумерном случае не увенчались успехом. Однако это отнюдь не значит, что он абсолютно бесполезен и не применим. Для широкого ряда функций (но не для всех) посчитать интеграл Римана по области в n-мерном пространстве это все равно, что посчитать n раз одномерный интеграл Римана, а он, как известно, по теореме Ньютона – Лейбница сводится к интегралу Ньютона, который можно посчитать точно.
Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite
