Ну в общем сразу переходим к существу вопроса. На рубеже веков математики реально загонялись по поводу оснований математики. Многие годы лагерь приверженцев формализма пытался придумать аксиомы арифметики, той самой, которую мы с вами знаем с 1 класса, у многих это не очень получалось, но в итоге в этом первым преуспел Джузеппе Пеано. Он придумал 5 аксиом, которые вполне себе хорошо описывают множество натуральных чисел. Из аксиом Пеано можно вывести всю арифметику, что, к примеру, делается в книге Э.Ландау "Основы анализа".
В общем, суть второй проблемы Гильберта в том, чтобы выяснить, является ли эта система аксиом противоречивой или нет. Поясню: противоречивой называется система аксиом, в которой можно вывести противоречие. Математики много срались по этому поводу, но финальный вывод сделал уже известный нам Курт Гёдель. В 1931 году он опубликовал свои известнейшие теоремы о неполноте. В частности, вторая его теорема, я напомню, гласит, что если есть непротиворечивая система аксиом, то нельзя финитными (грубо говоря конечными) методами доказать непротиворечивость этой системы аксиом в рамках самой себя.
То есть согласно теореме Гёделя если аксиомы Пеано и непротиворечивы, то доказать при помощи них самих у нас это не получится, а я напомню, что аксиомы Пеано претендовали на роль прочного фундамента оснований математики.
Тем не менее при помощи лютого инструмента трансфинитной индукции в 1936 году Генцен доказал непротиворечивость аксиом арифметики. То, что он использовал метод, который никакого абсолютно отношения не имеет к арифметике, собственно, ставит под сомнение факт решения непосредственно второй проблемы Гильберта.
Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite