В 1900 году Давид Гильберт на II математическом конгрессе в своем выступлении обозначил известные 23 задачи, для решения которых, как считал Гильберт, необходимо приложить максимальные усилия ближайшие 100 лет.
Теория множеств Георга Кантора весьма удобна и последовательна, однако в ней есть некоторые странные утверждения. Одно из них – континуум-гипотеза, которая и является первой проблемой Гильберта. Я постараюсь как можно короче и как можно понятнее объяснить ее суть.
Вот есть у вас натуральные числа. Их бесконечно. Есть рациональные числа, их тоже бесконечно. Причем и натуральных, и рациональных чисел одинаково бесконечно много, то есть каждое рациональное число можно взаимно-однозначно сопоставить с натуральным:
А вот с вещественными числами так не получится, потому что их больше, чем натуральных чисел. То есть буквально: бесконечность вещественных чисел больше, чем бесконечность натуральных чисел (если хотите ликбез по бесконечным множествам, голосуйте).
Континуум-гипотеза утверждает, что не бывает бесконечных множеств, чья бесконечность больше, чем бесконечность натуральных чисел, но меньше, чем бесконечность вещественных чисел.
Вот такая вот гипотеза, многие пытались ее решить, но в итоге ни у кого не получалось, а в итоге вообще оказалось, что ее нельзя ни доказать, ни опровергнуть в той системе аксиом, в которой мы работаем с множествами. Доказал это Коэн в 1963 году.
Обычно континуум-гипотезу принимают на веру, но если ей пользуются при доказательстве какого-то факта, то о таком говне предупреждают.
Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite
