Вообще пространства в математике – это очень абстрактная и нужная вещь. И вот среди огромного их разнообразия есть такая вещь, как метрические пространства, которые порой заставляют изучающего сказать: "Чего, блять, тут написано?"

Если кратко, то метрическое пространство – это пространство, в котором введена функция от двух аргументов, которую называют метрикой (а ты как думал?), которая каждой паре элементов пространства сопоставляет неотрицательное вещественное число и удовлетворяющая трем условиям:
1) расстояние от а до б такое же, как от б до а
2) расстояние между точками а и б равно 0 тогда и только тогда, когда а = б
3) неравенство треугольника: f(a, b) ≤ f(a, c) + f(c, b), то есть путь в обход длиннее, чем по прямой.


Вообще говоря может показаться, что ничего интересного из этого не получишь, потому что все, что мы можем – это просто взять и померить расстояние между двумя точками. Тем не менее, можно найти несколько охренеть каких крутых вещей, которые лучше рассмотреть на паре примеров.

1. В н-мерном линейном пространстве основная метрика задается скалярным произведением (она называется Евклидовой и само пространство с такой метрикой также обычно зовут Евклидовой), но можно придумать, например, такую метрику: расстояние между двумя точками вычисляется как максимальная разница между двумя их координатами и мы не получим никакого противоречия, просто будем по-другому мерить (почти как с сантиметрами и дюймами). Придумай сам, как это поможет тебе избежать позора перед девушкой.

2. Ниже представлено пространство из трех точек, но в котором шар бо́льшего радиуса содержится в шаре меньшего радиуса (кто не понял, шар – это множество точек, расстояние от которых до некоторой точки меньше фиксированного, например интервал на прямой, круг на плоскости, шарик в пространстве).


Нормированные пространства – это уже куда более строгая вещь, чем метрические пространства. Там такого говна, как большой шар внутри маленького не бывает. Там каждой точке, а вернее, радиус-вектору этой точки приписывается конкретная длина. При этом каждое нормированное пространство, очевидно, является метрическим, потому что можно взять вектор, соединяющий две точки, посмотреть на его длину и называть ее расстоянием. Норму, кстати, тоже можно задавать кучей разных способов.

Конкретно метрические и нормированные пространства играют важную роль в математическом анализе и без них практически невозможно перейти к изучению теории функций и многомерному анализу.

Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite