В прошлый раз мы рассмотрели матрицы, их виды, увидели определитель и способ его нахождения, и простейшие действия с матрицами. Сегодня мы добавим инфы по определителю, узнаем про ранг матрицы, научимся находить обратную матрицу и увидим провождение матрицы к ступенчатому виду.

Свойства определителя.
1. У транспонированной матрицы не меняется определитель. То есть если мы поменяем строки и столбы местами, то нихуя не поменяется.
2. Если мы поменяем местами 2 строки или 2 столбца, то определитель меняет знак.
3. Умножение строк или столбцов матрицы на какое-то число, также умножит определитель на это число. Отсюда можно нахуй выносить общие множители за детерминант.
4. Если в матрице есть ряд нулей, то определитель 0.
5. Если есть 2 одинаковых строки или столбца, либо они пропорциональны, то детерминант равен 0.
6. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
7. Если строка или столбец матрицы – это сумма 2-х каких-то чисел (a_(kn)+b_(kn)), то определитель можно расписать суммой 2-х определителей, где в первом мы пишем строку с a_(kn), а во втором b_(kn).
8. Определитель не изменится, если плюсануть какую-то строчку (столбец), помноженную на какое-нибудь число, на какую-нибудь другую строчку (столбец).
9. Если у 2-х матриц определитель одинакового порядка, то определитель произведения матриц равен произведению определителей.

Но что такое порядок определителя? А это просто хуйня, показывающая, у матрицы какого размера был взят детерминант (у матрицы 1х1 – определитель 1 порядка, 3х3 – 3 порядка, 27х27 – 27 порядка).

Теперь, давайте приведём матрицу к ступенчатому виду. Но нахуй это нужно делать? Это делается тупо для простоты, так как в итоге у нас получается треугольная матрица, где на изи ищется определитель, а ещё так проще ищется обратная матрица и решаются системы уравнений. Чтобы это делать, мы должны юзать преобразования матрицы:
• Перестановка строк
• Убирание строк, где все элементы равны 0
• Умножение матрицы на число, не равное 0
• Прибавление одной строки к другой
• Транспонирование

Расписывать действия я не буду (та как получается слишком дохуя), но вы можете увидеть приведение на 1 картинке.

Теперь переходим к нахождению обратной матрицы. Обратная матрица к матрице А (А^-1) – это такая матрица, когда вы умножите ее на матрицу А, то получите единичную матрицу Е. Казалось бы, берём единичную матрицу и делим на обычную матрицу, но хуй там плавал – это нихуя не работает. Для начала нужно вспомнить, что у вырожденных матриц (где определитель 0) не бывает обратных матриц. Теперь, нужно узнать, что такое алгебраическое дополнение. Это такая хуетень, где мы берём элемент А_(ij), вычёркиваем столбец и строку, где находится этот элемент – это мы нашли минор. Мы умножаем минор на (-1)^(i+j) и получаем алгебраическое дополнение. После этого нам нудно будет поделить алгебраические дополнения ТРАНСПОНИРОВАННОЙ матрицы на определитель матрицы А. Это я сделал на 2 пикче.

И наконец, ранг матрицы. Ранг – это хуйнина, на которой многие делают ошибки; показывает ранг наибольшее число линейно независимых строк (строк, которые нельзя получить из других строк в этой матрице (преобразования матрицы)). Мы находим детерминант, если он не 0, то порядок этого определителя и есть ранг матрицы, если 0, то мы ищем наименьшее алгебраическое дополнение и его определитель и действуем по отработанной схеме. 0 ранг имеет только нулевая матрица, поэтому, если у вас в матрице 2х2 детерминант будет 0, то вы тупо пишите, что её ранг равен 1.

В 3 и последнем посте про матрицы мы рассмотрим всякую оставшуюся хуйню, про которую я сча ещё не знаю.

1 часть: https://vk.com/wall-147914213_6494




Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite