Мяч затаился в стриженой траве.
Секунда паузы на поле и в эфире...
Они играют по системе "дубль-вe", –
А нам плевать, у нас – "четыре-два-четыре".

– В.Высоцкий

Представьте себе футбольный мяч. Нет, не те современные, которые сшиты из непонятных извихлястых хреновин, а те, которые у каждого были в детстве, как на картинке. Посмотрите, из каких многоугольников он состоит.

На нем белые (голубые) шестиугольники и черные (синие) пятиугольники, причем в каждой вершине сходится ровно по два шестиугольника и одному пятиугольнику. Итак, собственно, задача: выяснить, из скольки пятиугольников и скольки шестиугольников состоит футбольный мяч.

Прежде, чем решить это задачу, давайте вспомним, какие мы знаем многогранники: тетраэдр, куб, октаэдр, различные призмы и пирамиды. Согласны, что если каждый из них сделать из очень гибкого материала и закачать внутрь воздух, получится сфера? Прямо как с футбольным мячом. Давайте без задней мысли посчитаем упавшую на нас с неба формулу: В + Г - Р (откуда она тут взялась?), где В – количество вершин многогранника, Г – число граней многогранника, Р – число ребер многогранника.


тетраэдр: 4 вершины, 4 грани, 6 ребер, В + Г - Р = 2;
куб: 8 вершин, 6 граней, 12 ребер, В + Г - Р = 2;
октаэдр: 6 вершин, 8 граней, 12 ребер, В + Г - Р = 2.
Для призмы посчитайте сами и убедитесь, что это число тоже будет равно 2.

А теперь давайте возьмем штуку, которую я сам нарисовал – кубик с дыркой:

16 вершин, по 4 грани на двух сквозных сторонах, еще 4 грани на сплошных сторонах и 4 грани внутри, итого 16 граней, каждая грань четырехугольная, а каждое ребро принадлежит ровно двум граням, значит ребер 16*4/2 = 32. В + Г - Р = 16 + 16 - 32 = 0 (для тех кто шарит, это тор).

Получилось, что наша характеристика умеет отличать те многогранники, которые можно раздуть до сферы от тех, которые нельзя. Подробнее о ней будет рассказано в статье про графы. Сейчас же для нас целесообразно вернуться к изначальной задаче о футбольном мяче.

Итак, пусть число пятиугольников – k, число шестиугольников – n. Посчитаем наш инвариант (то, что не изменяется (который, кстати, называется эйлеровой характеристикой)) для мяча. Граней k + n. С одной стороны, вершин пятиугольников 5k, шестиугольников – 6n, с другой стороны, в каждой вершине сходятся три многоугольника, значит, каждую вершину мы посчитали трижды и всего вершин – (5k + 6n)/3. Ребра посчитаем так же, с учетом того, что каждое ребро содержится ровно в двух многоугольниках: (5k + 6n)/2. Ну, понятное дело, что футбольным мячом можно играть потому что его можно надуть до сферы. Значит, В + Г - Р = 2. Ну посчитаем:
k + n + (5k + 6n)/3 - (5k + 6n)/2 = 2 | умножим все это дело на 6;
6k + 6n + 10k + 12n - 15k -18n = 12 | приведем подобные;
k = 12.

Ну и наконец заметим, что каждый шестиугольник на мяче граничит ровно с 3 пятиугольниками, в то время, как пятиугольники не граничат ни с одним другим пятиугольником, значит, 5k = 3n => n = 20. Итак, на футбольном мяче 12 пятиугольников и 20 шестиугольников. Заметим, что мы никак не использовали расположение шестиугольников и так далее, то есть как бы мы ни пытались склеить из пятиугольников и шестиугольников мяч (чтобы пятиугольники не граничили и в вершине сходилось по три фигуры), нам всегда потребуется ровно 12 пятиугольников и 20 шестиугольников.

То, что мы использовали в процессе доказательства – формулу Эйлера – является одним из важнейших топологических инвариантов, который почти полностью (с точностью до ориентируемости) определяет двумерную поверхность.

Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite