Знаете, как сложно иметь небольшое представление об элементарной математике? Листаешь ленту, как вдруг видишь, что кто-то обсуждает пятый постулат Евклида и геометрию Лобачевского. Пытаешься людей образумить, а они оказываются дилетантами, начинают тебе тыкать, что, мол, Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются. И В ЭТОТ МОМЕНТ НАЧИНАЕТ ДИКО ГОРЕТЬ, ВЕДЬ ТВОЙ СОБЕСЕДНИК СЧИТАЕТ ТУПЫМ ТЕБЯ, ТАК КАК ТЫ НИЧЕГО НЕ ЗНАЕШЬ О НЕЕВКЛИДОВОМ МИРЕ. Так вот, эта статья – это жест отчаяния и надежды, это попытка привнести чего-то своего в просвещение.

Началось всё очень давно, еще когда у римлян только планировались Пунические войны, а до нашествия гуннов было больше 500 лет. Евклид задавался вопросами геометрии и создал фундаментальный труд – «Начала». Там был пятый постулат, который гласил, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную данной (оригинальная формулировка другая, но ее хер кто поймет с первого раза, а она тут не главная). И да простят меня незнающие, ЭТО НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, ЧТО ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, ВЕДЬ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, ПОТОМУ ЧТО ОНИ ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ, КАК НЕПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ.

Ну так вот, этот пятый постулат пытались доказать через 4 общепринятых аксиомы многие чуваки, но у них ничего не получалось. Тогда несколько умных чуваков решили, что лучше использовать метод от противного (о любовном треугольнике Бойяи-Гаусс-Лобачевский также нужна отдельная статья, там такие страсти кипели). Так появилась первая неевклидова геометрия, которая известна, как геометрия Лобачевского или гиперболическая (что тоже не совсем верно). Затем появились и другие интересные штуки, о некоторых из них в кратце расскажу.

1) Геометрия Лобачевского. Если кратко – посылаем к черту пятый постулат, а именно, говорим, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести по крайней мере две прямых, параллельных данной и мутим свою геометрию. Например, если мы возьмём асимптотическую прямую к другой прямой и проведём перпендикуляр «a» ко второй прямой, то, зная перпендикуляр «а», мы захотим найти угол α, то нам нужно будет использовать функцию α=π(а) (но более подробно об этом в будущем). Лобачевский вывел кучу крутых штук, чтобы описать свою геометрию, только вот было неясно, где это все реализовать. Сам математик умер, не получив признания, так что додумывать, на чем рисовать пришлось другим математикам, и вот появилось поверхность – псевдосфера, но только на ней геометрия Лобачевского выполняется только в некоторых случаях, так что это не особо удобно. Затем появилась модель Римана и Пуанкаре, которые удобнее.

2) Геометрия Римана на сфере. Риман, в отличие Лобачевского, вообще не парился и сказал, а давайте вообще параллельных прямых не будет, прям вообще, и замутил геометрию, в которой прямыми будут окружности на сфере. То есть мы находим проекцию построенного треугольника и вычисляем там углы, синусы, косинусы и т.д.

3) Проективная геометрия – это вообще самая интересная вещь. Если сказать, что прямые и точки на самом деле это почти одно и то же, а еще, что параллельные прямые перескаются, просто бесконечно далеко, то всё обретает смысл. И правда, когда вы смотрите на рельсы, вы видите, что они параллельны. Когда посмотрите на горизонт, увидите, что они где-то пересеклись. Пойдете в ту сторону и никогда не придете к месту их пересечения. Значит, они пересекаются бесконечно далеко. Эта идея обыгрывается в проективной геометрии (но для нее также нужна отдельная статья). Одна из моделей проективной плоскости позволяет представить ее, как круг, в котором точки, лежащие на противоположных концах одного диаметра, отождествлены. Если окружность склеить так, чтобы отождествленные точки стали одной точкой, получится компактное двумерное многообразие, правда без самопересечений оно не вкладывается в наш локально-евклидов трехмерный мирок.

Заключение: неевклидовы геометрии – это крутая и нужная вещь (спросите физиков и астрономов или прогеров).